Krzywizna

Krzywizna – pojęcie w geometrii, które opisuje, w jaki sposób krzywa lub powierzchnia odchyla się od swojej najprostszej, najprostszego kształtu – linii prostej lub płaszczyzny. Krzywizna jest centralnym pojęciem w geometrii różniczkowej i ma liczne zastosowania w fizyce, inżynierii, grafice komputerowej i wielu innych dziedzinach.

1. Krzywizna krzywych

Najprostsza sytuacja dotyczy krzywej w płaszczyźnie lub w przestrzeni trójwymiarowej. Dla regularnej krzywej parametrowanej przez t jako γ(t) (gdzie γ' i γ'' istnieją i γ'(t) ≠ 0) krzywizna w punkcie t₀ definiowana jest jako:

κ(t) = \frac{|\gamma'(t) \times \gamma''(t)|}{|\gamma'(t)|^{3}}

gdzie × oznacza iloczyn wektorowy, a |·| – normę euklidesową. W płaszczyźnie można użyć wzoru:

κ(t) = \frac{|x'(t) y''(t) - y'(t) x''(t)|}{\bigl(x'(t)^{2}+y'(t)^{2}\bigr)^{3/2}} .

Wartość krzywizny jest dodatnia, a jej odwrotność określa promień okręgu, który najlepiej przybliża krzywą w danym punkcie (tzw. okrąg oskulny).

1.1. Współrzędne Freneta

W przestrzeni trójwymiarowej przydatne są tzw. układy Freneta (T, N, B – wektor styczny, normalny i binormala). Krzywizna κ i torsja τ opisują, jak te wektory zmieniają się wzdłuż krzywej:

\begin{cases}
T' = κ N,\\
N' = -κ T + τ B,\\
B' = -τ N .
\end{cases}

2. Krzywizna powierzchni

Dla dwuwymiarowej powierzchni S w przestrzeni trójwymiarowej istnieją dwa podstawowe rodzaje krzywizny:

Krzywizna średnia (H) – średnia arytmetyczna z głównych krzywizn (krzywizn głównych kierunków). Dla punktu p:
```
H = \frac{κ_1 + κ_2}{2}
```
Krzywizna Gaussa (K) – iloczyn głównych krzywizn:
```
K = κ_1·κ_2
```

Główne krzywizny κ₁ i κ₂ są otrzymywane jako wartości własne drugiej formy fundamentalnej powierzchni (macierzy II) przy odniesieniu do pierwszej formy fundamentalnej (I).

2.1. Krzywizna Gaussa a twierdzenie Eulera

Wartość krzywizny Gaussa jest niezmiennicą pod izometrią – nie zależy od sposobu, w jaki powierzchnia jest pozycjonowana w przestrzeni. To fundamentalny wynik Karola Friedricha Gaussa, zwany twierdzeniem teoretycznym Gaussa („działa jak wzór wewnętrzny”).

2.2. Krzywizna średnia a minimalne powierzchnie

Powierzchnie, dla których krzywizna średnia jest wszędzie równa zero (H = 0), nazywane są powierzchniami minimalnymi. Przykładem jest catenoid czy powierzchnia Helisa. W fizyce krzywizna średnia pojawia się w ekwiacji kształtu błon lipidowych oraz w teorii ruchu kapilyarnego.

3. Krzywizna w wyższych wymiarach

W geometrii różniczkowej i w teorii względności rozważa się krzywiznę Riemanna – czwarty rząd tensora, który opisuje, jak wektory równoległe transportowane po krzywej zamykają się w inną pozycję niż początkowa. Tensor krzywizny Riemanna R^{i}\_{jkl} jest podstawą do definiowania:

tensoru Ricciego R_{ij} (skurczenie tensora Riemanna),
skalaru Ricciego R (jej dalsze skurczenie),
wartości własnych sekcji w równaniach pola Einstein’a.

4. Zastosowania i przykłady

Geodezja i kartografia – krzywizna Ziemi jest modelowana jako krzywizna powierzchni (sfery przybliżonej) oraz jako krzywizna Gaussa w mapach konforemnych.
Fizyka – w ogólnej teorii względności krzywizna przestrzeni‑czasu determinuje ruch mas i energii (równanie Einsteina).
Inżynieria – w projektowaniu mostów i torów kolejowych analiza krzywizny toru zapewnia odpowiedni komfort przejazdu.
Grafika komputerowa – algorytmy wygładzania (np. model Phonga) wykorzystują krzywiznę powierzchni do realistycznego renderingu światła.

5. Historia

Pojęcie krzywizny rozwijało się stopniowo od starożytnych badań nad kołami i elipsami, przez prace Leonharda Eulera nad krzywizną krzywych, po przełomowe traktaty Karola Friedricha Gaussa („Disquisitiones generales circa superficies curvas”, 1827) oraz Bernharda Riemanna („Ueber die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen”, 1854). Dzięki tym odkryciom powstała nowoczesna geometria różniczkowa, będąca fundamentem współczesnej fizyki i matematyki.