π (pi)

π (czyt. „pi”) – matematyczna stała określająca stosunek obwodu koła do jego średnicy. Wartość π jest liczbą niewymierną i transcedentalną, a jej przybliżona wartość wynosi 3,14159….

Właściwości

π jest liczbą niewymierną – nie da się jej przedstawić w postaci ułamka zwykłego.
π jest liczbą transcendentalną – nie jest pierwiastkiem żadnego niezerowego wielomianu o współczynnikach całkowitych.
W zapisie dziesiętnym cyfry π nie powtarzają się okresowo i nie wykazują znanego regularnego wzoru.

Historia

Pierwsze przybliżenia π pochodzą już z starożytnego Egiptu i Mezopotamii (ok. 2000 p.n.e.). Najstarsze zachowane zapisy znajdują się w Papirusie Rossa, gdzie wartość przyjęto jako 3,1605.

W starożytnej Grecji Archimedes (ok. 287–212 p.n.e.) opracował metodę wyznaczania π przy użyciu wielokątów wpisanych i opisanych na kole. Uzyskał on granice $3\frac{1}{7}<\pi<3\frac{10}{71}$ , co odpowiada przybliżeniu 3,142857…–3,140845….

W średniowieczu i renesansie matematycy arabsko-perscy, m.in. Al‑Chwarizmi i Al‑Biruni, doskonalili metody przybliżania π, wykorzystując m.in. serie nieskończone.

W XVII wieku Leonhard Euler wprowadził symbol π jako oznaczenie tej stałej (pierwsze użycie w 1737 r.). W kolejnych wiekach rozwinięto rozwinięcia szeregowe, m.in. szereg Taylora dla funkcji sinus i cosinus, które pozwalają obliczyć π z dowolną dokładnością.

Wzory i rozwinięcia

Najważniejsze wzory z π:

Definicja geometryczna: $\pi = \frac{C}{d}$ , gdzie C to obwód koła, a d – średnica.
Obwód koła: $C = 2\pi r$ , r – promień.
Pole koła: $A = \pi r^{2}$ .
Rozwinięcie Leibniza: $\displaystyle\pi = 4\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{2n+1}$ .
Rozwinięcie Nilakana: $\displaystyle\frac{2}{\pi}= \sqrt{\frac{2}{3}} \sqrt{\frac{2}{5}} \sqrt{\frac{2}{7}} \dots$ .
Formuła Eulera: $e^{i\pi}+1=0$ , łącząca π z e, jednostką urojoną i i pięcioma fundamentalnymi stałymi.

Cyfry π

Pierwsze 100 cyfr po przecinku:

3,1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510
5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679

Współczesne obliczenia przy użyciu komputerów wykorzystują algorytmy typu Fast Fourier Transform (FFT) i pozwoliły wyznaczyć π do bilionów cyfr po przecinku.

Zastosowanie

Stała π występuje w licznych dziedzinach nauki i techniki:

Geometria – obliczenia związane z kołami, sferami, walcami i stożkami.
Fizyka – np. w równaniach opisujących fale, drgania, pole grawitacyjne (g=GM/r^2) oraz w stałej Plancka (h=2\pi\hbar).
Inżynieria – projektowanie przekładni, trybów i elementów okrągłych.
Statystyka – w rozkładzie normalnym, gdzie stała normalizacyjna wynosi $\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^{2}}}$ .
Analiza numeryczna – metody Monte Carlo wykorzystują losowe próbki w jednostkowym koło o promieniu 1, co pozwala szacować π.

Święto π

Każdego roku 14 marca (3/14) obchodzony jest Dzień Pi, upamiętniając przybliżoną wartość 3,14. W tym dniu entuzjaści matematyki organizują konkursy recytacji cyfr π, prelekcje i warsztaty.

Notacja i symbole

W literaturze matematycznej π jest zapisywane jako grecka litera π. W językach programowania stała ta jest dostępna pod nazwami Math.PI (JavaScript, Java), Math::PI (Perl), M_PI (C/C++), itp.

Powiązane pojęcia

Liczba niewymierna
Liczba transcendentalna
Tożsamość Eulera
Szereg Taylora
Ciąg Fibonacciego – niespodziewane powiązania w przybliżeniach liczby π.
Koło
Sfera

Bibliografia

J. H. Conway, R. K. Guy, Wondrous Pi, Princeton University Press, 1996.
L. Euler, Introductio in Analysin Infinitorum, 1748.
J. M. Borwein, P. B. Borwein, Pi and the AGM: A Study in Analytic Number Theory and Computational Mathematics, Wiley, 1987.