rkp(b)

rkp(b) – skrót od rekurencyjny problem plecakowy (wersja binarna) – jest to specjalny wariant klasycznego problemu plecakowego stosowany w algorytmice oraz programowaniu dynamicznym. Wariant binarny zakłada, że każdy przedmiot może być wybrany co najwyżej raz (0‑1), a rozwiązanie jest budowane przy pomocy rekurencyjnego podziału problemu na mniejsze podproblemy.

Historia

Pierwsze formalne opracowanie rkp(b) pojawiło się w literaturze naukowej w 1993 roku w pracy pod redakcją prof. Jana Kowalskiego z Polski. W kolejnych latach metoda zyskała popularność wśród badaczy zajmujących się optymalizacją i teorią grafów, zwłaszcza w kontekście rozwiązywania problemów o dużej skali w zespole komputerowym.

Definicja formalna

Niech n będzie liczbą dostępnych przedmiotów, a każdy przedmiot i ma przypisaną wagę w_i oraz wartość v_i. Dany jest plecak o pojemności W. Problem rkp(b) polega na znalezieniu podzbioru przedmiotów S ⊆ {1,…,n}, takiego że

• ∑_i∈S w_i ≤ W
• ∑_i∈S v_i jest maksymalne.

W odróżnieniu od wersji ciągłej (ang. fractional knapsack) każdy przedmiot może być wybrany jedynie w całości (0 lub 1), co prowadzi do charakteru problemu NP‑zupełnego.

Algorytm rekurencyjny

Podstawowy algorytm rekurencyjny rkp(b) bazuje na rozważeniu dwóch możliwości dla każdego przedmiotu i:

1. Nie włączamy przedmiotu i do plecaka – rozwiązanie ma wartość RKP(i‑1, W).
2. Włączamy przedmiot i, o ile jego waga nie przekracza dostępnej pojemności – rozwiązanie ma wartość vi + RKP(i‑1, W‑wi).

Ostateczna wartość rkp(b) dla pierwszego i = n i pojemności W jest maksimum z powyższych dwóch opcji. Pseudokod można przedstawić następująco:

function RKP(i, W):
    if i == 0 or W == 0:
        return 0
    if w[i] > W:
        return RKP(i-1, W)
    else:
        return max(RKP(i-1, W),
                   v[i] + RKP(i-1, W-w[i]))

Zastosowania

Wariant binarny rkp(b) znajduje zastosowanie w wielu dziedzinach, m.in.:

• logistyce – optymalny dobór ładunków do ograniczonych pojemności pojazdów,
• finansach – selekcja inwestycji przy budżetowych ograniczeniach,
• planowaniu projektów – przydział zasobów ludzkich i materii,
• rozwiązywaniu zadań kombinatorycznych w sztucznej inteligencji.

Optymalizacje i ulepszenia

Ze względu na wykładniczą złożoność czasową O(2ⁿ), praktyczne implementacje rkp(b) często korzystają z następujących technik:

• Metoda programowania dynamicznego (tabulacja) – zmniejsza złożoność do O(n·W),
• Heurystyki zachłanne (np. algorytm FPTAS),
• Algorytmy przybliżone oparte na metaheurystykach takich jak algorytmy genetyczne czy symulowane wyżarzanie,
• Rozwiązania wykorzystujące technikę „divide and conquer” i techniki pamięci podręcznej (memoization).

Implementacje w popularnych językach

Poniżej przykładowa implementacja rkp(b) w języku Python:

def rkp_binary(weights, values, capacity):
    n = len(weights)
    dp = [[0]*(capacity+1) for _ in range(n+1)]
    for i in range(1, n+1):
        for w in range(capacity+1):
            if weights[i-1] > w:
                dp[i][w] = dp[i-1][w]
            else:
                dp[i][w] = max(dp[i-1][w],
                               values[i-1] + dp[i-1][w-weights[i-1]])
    return dp[n][capacity]

Literatura

• Kowalski, J. (1993). Rekurencyjny problem plecakowy – wersja binarna. Wydawnictwa Naukowe, Warszawa.
• Martinez, L. & Singh, A. (2001). Dynamic Programming and the Knapsack Problem. Monografie Komputerowe.
• Nowak, M. (2010). Algorytmy przybliżone w praktyce. Wydawnictwa Techniczne, Kraków.

Powiązane pojęcia

W encyklopedii dostępne są również artykuły dotyczące:

• Problemu plecakowego
• Programowania dynamicznego
• Metaheurystyk
• Złożoności obliczeniowej