Równania Maxwella

Równania Maxwella to zbiór czterech równań opisujących zachowanie pól elektrycznych i magnetycznych oraz ich wzajemne oddziaływanie. Zostały sformułowane w latach 1860‑1865 przez szkockiego fizyka Jamesa Clerka Maxwella i stanowią fundament elektrodynamiki, a także jednej z czterech podstawowych sił przyrody – elektromagnetyzmu.

Historia

Prace Maxwella nad jednoczesnym opisem zjawisk elektrycznych i magnetycznych doprowadziły do połączenia dwóch odrębnych teorii: prawa Gaussa dla pola elektrycznego oraz prawa Ampère’a (z poprawką terminu przemieszczeniowego, wprowadzoną później przez Heinricha Herty). W 1865 roku Maxwell opublikował “A Dynamical Theory of the Electromagnetic Field”, w której po raz pierwszy pojawiła się pełna, spójna postać czterech równań.

Formy równań

Równania można zapisać w dwóch najpopularniejszych formach: w wersji całkowitej (integralnej) oraz w wersji różniczkowej (różniczkowej). Poniżej podano wersję różniczkową w układzie jednostek SI.

1. Prawo Gaussa dla pola elektrycznego

∇·E = ρ / ε₀
    

Gdzie E jest wektorem pola elektrycznego, ρ – gęstość ładunku, a ε₀ – przenikalność elektryczna próżni.

2. Prawo Gaussa dla pola magnetycznego

∇·B = 0
    

Równanie to wyraża brak monopoli magnetycznych; B jest wektorem pola magnetycznego.

3. Prawo Faradaya‑go indukcji elektromagnetycznej

∇×E = -∂B/∂t
    

Zmiany pola magnetycznego w czasie generują pole elektryczne; pochodna ∂B/∂t jest pochodną cząstkową względem czasu.

4. Zmodyfikowane prawo Ampère’a (prawo Ampère’a‑Maxwella)

∇×B = μ₀J + μ₀ε₀ ∂E/∂t
    

Gdzie J to gęstość prądu, μ₀ – przenikalność magnetyczna próżni, a drugi składnik μ₀ε₀ ∂E/∂t jest tzw. prądem przemieszczeniowym wprowadzonym przez Maxwella.

Znaczenie i konsekwencje

Połączenie tych czterech równań prowadzi do równania falowego dla pól E i B, z którego wynika, że fale elektromagnetyczne rozchodzą się w próżni z prędkością c = 1/√(μ₀ε₀). To odkrycie umożliwiło opracowanie technologii radiowej, telekomunikacji, a także przyczyniło się do rozwoju nowoczesnej fizyki kwantowej.

Zastosowania

• Projektowanie anten i systemów komunikacji bezprzewodowej.
• Analiza i symulacje w elektromagnetyzmie komputerowym.
• Modelowanie zachowania się pól w optice i fotowoltaice.
• Badania w dziedzinie nanomateriałów i meta‑materiałów.

Powiązane pojęcia

Elektrostatyka, magnetostatyka, teoria pola, równania Maxwella w postaci kwantowej, foton, siła Lorentza.

Bibliografia

1. J. C. Maxwell, A Dynamical Theory of the Electromagnetic Field, 1865.
2. J. D. Jackson, Classical Electrodynamics, 3. wyd., Wiley, 1998.
3. D. J. Griffiths, Introduction to Electrodynamics, 4. wyd., Cambridge University Press, 2017.